Le diamant de Sunada

08 Jan 2008

Toshikazu Sunada est connu entre autre pour ses travaux sur les variétés isospectrales non-isométriques. Dans le dernier numéro des Notices de l’AMS il a écrit un article sur un intriguant réseau crystallin, que j’appelerai le diamant de Sunada ici. (Bon j’avoue que je n’ai pas encore vérifié les preuves mais ça à l’air assez élémentaire.)

Il commence par la définition suivante:

Définition: un réseau crystallin X (ou un graphe général) de degré n est dit fortement isotropique si pour tout x,y\in V et pour toute permutation \sigma de \{1,2,...,n\} il existe g\in Aut(X) tel que gx=y et que ge_i=f_{\sigma(i)}, où E_x=\{e_1,\dots,e_n\} et E_y=\{f_1,\dots,f_n\}.

Il démontre alors le théorème suivant:

Théorème: Le degré d’un crystal tridimensionnel est soit 3 soit 4 (et c’est tout). Celui de degré 4 est le diamant bien connu, et celui de degré 3 est le diamant de Sunada.

Il dit que ce diamant de Sunada est chiral (i.e. n’est pas sa propre image dans un mirroir), contairement au diamant classique, et se pose la question de son existence physique. Très joli tout ça…

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