Archive for janvier, 2008

Devenir invisible: équations de Maxwell, changements de coordonnées et métamatériaux

23 Jan 2008

Peut-être avez-vous fait un peu de physique après le bac. Vous avez alors étudié les équations de Maxwell, qui décrivent comment se propagent les champs électromagnétiques (lumière visible, ondes radio, wifi, etc.).

Et puis vous avez étudié un peu de maths aussi: les bijections, les changements de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques, etc.).

Bon, et bien vous en savez assez pour devenir invisible, au moins théoriquement. En effet un thème de recherche lancé en 2006 par Sir John Pendry et ses collaborateurs, et qui génère beaucoup d’intérêt, est basé sur la découverte que l’on peut théoriquement construire un tube complètement invisible avec un matériaux anisotrope qui possède une permitivité \epsilon et une suceptibilité magnétique \mu dépendant très simplement du rayon en coordonnées cylindriques. (En fait je triche un peu: il faut connaître aussi les tenseurs car on a à faire à des matériaux anisotropes donc \epsilon n’est pas un scalaire, et selon les applications également la relativité restreinte.)

De la théorie à l’expérience il y a souvent beaucoup de travail à faire, mais il semblerait que cela soit réalisable avec des nouveaux matériaux à plusieurs couches (qui appartiennent à la famille des métamatériaux) et qui permettent une bonne approximation des conditions théoriques. On pourra donc peut-être bien dans un futur proche cacher des objets dans des conteneurs invisibles.

C’est réjouissant je trouve de voir que des découvertes importantes sont réalisables avec des notions en maths et physique qui ne dépassent pas le niveau M1.

Voici quelques articles récents sur le sujet que je n’ai pas encore lus en détails: des simulations numériques du groupes de Pendry, un article plus récent où ils présentent d’autres formes possibles; un autre auteur propose un traitement plus mathématisé; un autre groupe enfin aborde des aspects topologiques.

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Cours de maths en ligne: encore loin du compte

18 Jan 2008

J’ai jeté un œil sur les divers cours de maths en vidéo disponibles gratuitement sur le web en français.

Bilan des courses, il y en a encore très peu: quelques-uns niveau collège et quelques autres au niveau lycée. Je loue les efforts de leurs auteurs, mais personnellement je trouve ceux que j’ai vus bien austères et peu motivants. Je m’essaierai à l’exercice cet été, on verra si je m’en sors mieux ou pas…

Il faudrait faire aussi des choses au-delà des programmes, pour vraiment donner l’envie d’apprendre et de se cultiver, y compris quand on est plus un élève et qu’on entre dans la vie active. Bref ne pas donner une image des maths uniquement scolaire.

En attendant voici un séminaire d’Alain Connes de 2005 qui lui est captivant et qui fait partie d’une série avec Matilde Marcolli. Celui-ci aborde les rapports entre la théorie quantique des champs et la physique statistique d’une part et la théorie des nombres d’autres part (je ne prétends pas tout comprendre encore…). En tout cas la remarque que \ell^2(\mathbb{N}^+)=Sym(\ell^2(\mathbb{P})) est en effet intéressante.

L’ENS, machine à médaillés Fields

12 Jan 2008

Il est bien connu que tous les médaillés Fields français sont passés par la rue d’Ulm, et que leur fréquence est élevée en comparaison de tout autre établissement dans le monde.

Se pourrait-il que ce phénomène s’étende aux étudiants étrangers issus de l’ENS? Ce n’est pas impossible.

Alexander Grothendieck, apatrido-ukraino-allemand, est passé par là brièvement. Pierre Deligne, belge, y a passé un an. Mais ce ne sont pas des exemples de scolarité complète à l’Ecole.

En revanche Ngô Bảo Châu, vietnamien, si il obtient bien la médaille dans deux ans (il en a en tout cas l’étoffe: deux médailles d’or aux Olympiades Internationales, prix Clay, et aura moins de 40 ans en 2010) puisse devenir le premier véritable élève étranger à recevoir cette distinction.

J’en parle car il a mis sur arXiv cette semaine un preprint (en français) qui semble (je n’y connais rien mais la liste des remerciements en dit long) être un travail très important sur la version géométrique du Programme de Langlands faisant suite à ses travaux déjà primés avec Gérard Laumon (son directeur de thèse — académicien par ailleurs, pour faire suite au précédent post).

La question est alors: en pleine mondialisation va-t-on désormais voir les meilleurs jeunes étudiants étrangers  chercher à obtenir une place à l’ENS plutôt qu’à Cambridge ou Princeton, voire même dès le stade de la prépa? Quelle est en fait l’image de l’ENS (et des prépas) dans l’imaginaire des lycéens étrangers?

L’âge des académiciens

11 Jan 2008

Après avoir fait un petit tour sur le site de l’Académie des Sciences je m’aperçois, outre la nomination récente de Jean-Pierre Demailly à l’âge de 50 ans, qu’en fait nos académiciens mathématiciens sont assez âgés: les plus jeunes sont Laurent Lafforgue (42 ans) et Maxim Kontsevich (43 ans) et à vue de nez la moyenne doit dépasser les 60 ans.

Je ne sais pas si c’est un bien. Que l’on songe à Legendre, élu à l’Académie à 31 ans, quelques années avant par exemple ses travaux sur la loi de réciprocité quadratique.

Bien sûr les choses ont changé depuis, que ce soit le nombre de mathématiciens de talent ou l’espérance de vie des français. Mais quand même, peut-être l’Académie manque-t-elle de trentenaires capables de faire encore bien des découvertes. Nos jeunes élèves et étudiants peuvent-ils s’identifier à des gens d’un âge aussi avancé? On peut sans malice se poser la question…

Le prochain livre de Conway

10 Jan 2008

Apparement vers le mois de mars prochain va paraître un livre de Burgiel, Conway et Goodman-Strauss intitulé Symmetries and Surfaces.

Un thésard de Princeton en parle un peu ici suite à un exposé de Conway lui-même, qui en a d’ailleurs parlé aussi il y a quelques jours à San Diego.

Il s’agit notamment de montrer que parmis les 230 groupes crystallographiques tridimensionnels il y en a 35 qui sont particuliers en ce sens qu’ils ne fixent aucune verticale (ils sont « premiers »), alors que les autres peuvent être vus comme composition de groupes crystallographiques mono- et bi-dimensionnels (cette classification différant de celle des physiciens). Voir ce papier plus ancien en particulier.

A l’oral de l’agreg externe il y a une leçon intitulée Sous-groupes finis de O(2,\mathbb{R}) et O(3,\mathbb{R}). Applications. Ce nouveau livre devrait apporter matière à des développements originaux, et être rempli de jolies figures comme celles-ci et celles-là (traduction wiki en français à faire…).

Le diamant de Sunada

08 Jan 2008

Toshikazu Sunada est connu entre autre pour ses travaux sur les variétés isospectrales non-isométriques. Dans le dernier numéro des Notices de l’AMS il a écrit un article sur un intriguant réseau crystallin, que j’appelerai le diamant de Sunada ici. (Bon j’avoue que je n’ai pas encore vérifié les preuves mais ça à l’air assez élémentaire.)

Il commence par la définition suivante:

Définition: un réseau crystallin X (ou un graphe général) de degré n est dit fortement isotropique si pour tout x,y\in V et pour toute permutation \sigma de \{1,2,...,n\} il existe g\in Aut(X) tel que gx=y et que ge_i=f_{\sigma(i)}, où E_x=\{e_1,\dots,e_n\} et E_y=\{f_1,\dots,f_n\}.

Il démontre alors le théorème suivant:

Théorème: Le degré d’un crystal tridimensionnel est soit 3 soit 4 (et c’est tout). Celui de degré 4 est le diamant bien connu, et celui de degré 3 est le diamant de Sunada.

Il dit que ce diamant de Sunada est chiral (i.e. n’est pas sa propre image dans un mirroir), contairement au diamant classique, et se pose la question de son existence physique. Très joli tout ça…

Commentaires possibles maintenant…

08 Jan 2008

Désolé je crois que j’avais désactivé les commentaires ou quelque chose comme ça 😐 Maintenant ça devrait aller, mais il risque d’y avoir un peu de spam (on verra, si il y en a trop je modererai tout).

Bases de Gröbner

08 Jan 2008

Je viens de voir qu’il y a un cours super clair de Bernd Sturmfels sur ce thème en vidéo sur le site du MSRI (cliquez sur Watch the video now via streaming). Vraiment bien expliqué, chapeau.